Unser gesamtes fachliches Team und ich haben den gesamten gestrigen Tag damit verbracht, die Aufgaben inhaltlich und didaktisch zu analysieren.
Da die Reaktionen des Kultusministeriums und anderen "Experten" eher relativierend waren, und kaum auf die erheblichen Nachteile, welche die diesjährigen Abiturient:innen erfahren mussten, eingegangen wurde, haben wir uns dazu entschlossen aufzuzeigen, warum das diesjährige Mathematik Abitur so ungerechtfertigt - und auch unabhängig von Corona als sehr anspruchsvoll - und nach neusten Erkenntnissen sogar als mathematisch unvollständig zu werten ist.
- Bei dieser Analyse ist uns unter anderem aufgefallen, dass drei der Teilaufgaben, zwei davon aus der Stochastik und eine aus der Geometrie, mathematisch fehlerhaft/unvollständig formuliert sind. Was diese Teilaufgaben (und die darauf aufbauenden Teilaufgaben) aus unserer Sicht ungültig macht.
- Zwei Teilaufgaben enthielten Inhalte, die nicht Teil des bayrischen Lehrplans sind. Eine davon (der Variationskoeffizient) wurde dabei ebenfalls mathematisch nicht vollständig definiert. Das erscheint sehr paradox, immerhin wurden dieses Jahr Themenbereiche aus dem Lehrplan gestrichen aufgrund der Pandemie.
- Außerdem waren Integralfunktionen in zwei Teilaufgaben (Analysis A-Teil und B-Teil) Bestandteil der Prüfung. Integralfunktionen sollten jedoch für diesen Abiturjahrgang nicht Bestandteil der Prüfung sein. (gem. KM/ISB)
- Ebenfalls ist festzustellen, dass die B-Teil Analysis Aufgabengruppe 1 um ein vielfaches anspruchsvoller als Gruppe 2 ist, da in dieser Aufgaben enthalten waren, die seit dem Leistungskurs nicht mehr Bestandteil des Abiturs waren, sowie Aufgaben, die ohne ein physikalisches Grundverständnis nur schwer für viele Schüler:innen zu lösen waren.
Unten finden Sie die mathematische und didaktische detaillierte Analyse jeder Teilaufgabe aus dem diesjährigen Mathematik-Abiturs, die auf fachlicher Ebene aufzeigen soll, mit welchem Missständen unsere Abiturient:innen zu kämpfen hatten - unabhängig von Covid.
Da Mathematik keinen Interpretationsspielraum offen lässt, kann der Vorwurf eines "unfairen Abiturs" mit Vorliegen dieser Analyse nicht mehr relativiert werden.
Dies bestätigt meine erste Einschätzung, denn dadurch gewinnt die Anschuldigung an das Kultusministerium an Gewicht.
Aber das macht mich gleichzeitig umso trauriger zu sehen, dass den Abiturient:innen nach all den Strapazen im Homeschooling/Distanzunterricht/Wechselunterricht, ausgefallenen Unterrichts - Stunden, ausgefallenen sozialen Events usw. mit so einer katastrophal schlechten Prüfung gedankt wird.
Ich bitte nun auch alle Mathematik-Lehrkräfte dringend, sich zu Wort zu melden! Dies kann gerne anonym durch in Kontakt treten mit uns geschehen.
Viele Lehrkräfte haben uns verständlicher Weise (immerhin ist das Kultusministerium ihr Arbeitgeber) bislang nur anonym kontaktiert, um uns über die Missstände aufzuklären.
Aber auch alle anderen Mathematiker:innen, Professor:innen und alle, die grundsätzlich vom Fach sind: bitte sehen Sie sich die Analyse an, und melden Sie sich bei uns!
Die Prüfungsaufgaben finden Sie unter:
https://www.isb.bayern.de/schulartspezifisches/leistungserhebungen/abiturpruefung-gymnasium/mathematik/2021/
Unsere Analyse finden Sie nachstehend, oder zum PDF-Download unter folgendem Link:
https://www.dropbox.com/s/7eyymft9pzsudc7/Fachliche%20und%20didaktische%20Analyse%20des%20Mathematik%20Abiturs%202021.pdf?dl=0
Diese neuen Erkenntnisse zur Prüfung haben nun zur Folge, dass die Forderung an das Kultusministerium anzupassen ist:
Der Notenschlüssel ist bzgl. der mathematisch unvollständigen Aufgaben, der nicht im Lehrplan enthaltenen Inhalte als auch der Aufgaben, die gestellt worden sind, obwohl diese nicht Bestandteil des Abiturs sein sollten - zu Gunsten der Schüler anzupassen:
Für üblich wird dies, wie an den Universitäten so gehandhabt, dass alle mathematisch unvollständige/fehlerhafte Aufgaben für jeden Prüfling voll zu bewerten sind.
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Fachliche und didaktische Analyse des Mathematik Abiturs 2021:
Am 20.05. hat Bettina Cornean mit einem Team aus Mathematiker:innen folgende Einschätzung des bayrischen Mathe-Abiturs 2021 erarbeitet, sowie wie nachfolgend verlautend Stellung zu den einzelnen Aufgaben bezogen. Die offiziellen Prüfungsangaben lagen dem Team vor.
A-TEIL
Analysis – Aufgabengruppe 1
1.
Bestandteil dieser Aufgabe ist der Nachweis der Umkehrbarkeit. Dieser Nachweis kann auf zwei Weisen erfolgen:
- Durch die Bijektivität (was nicht Bestandteil des Lehrplans ist) - Durch den Nachweis der Monotonie und Stetigkeit.
Letztere wird im Lehrplan nur angeschnitten, jedoch nie ausgeführt. Die e-Funktion ist zwar als stetige Funktion bekannt, jedoch handelt es sich bei der gegebenen Funktion um die Komposition zweier stetiger Funktionen, bei welcher der Nachweis der Stetigkeit erst erfolgen müsste.
Damit ist diese vermeintlich einfache Aufgabe unserer Meinung nach nicht angebracht als Abitur-Aufgabe.
2.
a) Diese Teilaufgabe ist eine übliche Standardaufgabe, die aus unserer Sicht auch geeignet für den A-Teil ist.
b) Die Anzahl der zu erreichenden BE ist für den Rechenaufwand, der hier für den korrekten Nachweis erforderlich ist, aus unserer Sicht viel zu gering angesetzt.
3.
b) In dieser Aufgabe ist eine Integralfunktion beschrieben.
„Für welches b nimmt die Integralfunktion den Wert 1 an“
Zwar eine durchaus einfache Aufgabe, allerdings ist das Thema „Integralfunktion“ (gem. pdf. ISB verbindliche Hinweise zur schriftlichen Abiturprüfung 2021) nicht prüfungsrelevant.
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Update zu dieser Aussage (Sonntag, 23.05.2021 20:10 Uhr):
Durch einen Hinweis möchten wir unsere Analyse noch in einem Punkt korrigieren:
Vorangehend haben wir geschrieben, dass Aufgabe 3 b) eine Integralfunktion enthält, welche für das Abitur 2021 als nicht prüfungsrelevant kommuniziert wurde. (siehe https://www.isb.bayern.de/download/22966/mathematik.pdf
In einem Kontaktbrief (einsehbar unter https://www.isb.bayern.de/download/23249/kontaktbrief_mathematik_2020.pdf der uns bislang nicht vorlag, wurde jedoch Folgendes angemerkt:
>> Selbst Aufgabenstellungen der Art „Bestimmen Sie denjenigen Wert von b, für den das Integral … den Wert 1 hat” sind also denkbar, da b hier für eine feste, noch unbekannte Zahl steht und das Konzept der Integralfunktion zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich ist. <<
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4.
Diese Aufgabe ist zwar sehr anspruchsvoll, jedoch aus unserer Sicht durchaus didaktisch wertvoll als algebraische Transferaufgabe zum Steigungsverhalten einer Funktion.
Analysis – Aufgabengruppe 2
Die Aufgaben 1. Bis 3. sind aus unserer Sicht Standardaufgaben, die so in der Art auch bereits drangekommen sind.
4.
Die Abbildung des Graphen f ist gegeben, und betrachtet wird die Funktion g als Komposition von f: g(x) = 1/f(x)
a) In dieser Teilaufgabe wurde aus unserer Sicht versäumt anzugeben, dass der Wert g(-2) mithilfe der Abbildung zu ermitteln ist. (Was in der Teilaufgabe b) jedoch der Fall ist)
b) Anspruchsvoll, jedoch durchaus im Erwartungsbereich an eine:n Abiturient:in. Allerdings sind die Schnittpunkte nicht sauber ablesbar, was bei vielen Schüler:innen durchaus für Verwirrung sorgen kann, da die (sonst übliche) Ergänzung „Näherungswert“ fehlt.
Stochastik – Aufgabengruppe 1 & 2
Diese Aufgaben liegen zunächst durchaus im Erwartungshorizont des üblichen Mathematik-Abiturs.
Allerdings muss an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass die Schüler:innen im A-Teil keine Hilfsmittel verwenden dürfen.
In Teilaufgabe b) soll begründet werden, warum X nicht binomialverteilt ist. Der naheliegendste Lösungsweg ist: durch einen Test der Verteilung in der Bernoullikette.
Daher kann hier deshalb in Frage gestellt werden werden, ob man von Schüler:innen im Hilfsmittel-freien Teil erwarten kann, dass sie die Bernoulliformel auswendig können sollten.
Geometrie - Aufgabengruppe 1
Eine anspruchsvolle, aber gelungene Aufgabe, in welcher das Lotfußpunktverfahren gefordert ist. Aus unserer Sicht jedoch eher unüblich für den A-Teil.
Geometrie – Aufgabengruppe 2
Aus unserer Sicht in der Theorie eine gut gemeinte Aufgabe – jedoch erlauben die sehr hohen Zahlenwerte nicht jeden Lösungsweg. So lässt sich der Ansatz über die Kreisgleichung nicht ohne Taschenrechner lösen, welcher den Schüler:innen hier aber nicht zur Verfügung stand.
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B-TEIL
Analysis - Aufgabengruppe 1
1.
a) Standardaufgabe
b) Zwar sind die Intervalle als Hilfe gedacht, aber durch die Angabe des Definitionsbereichs absolut überflüssig - und sorgen somit nur unnötig für Verwirrung.
c) Absolut in Ordnung. Es ist jedoch schon lange nicht mehr Bestandteil des B-Teils gewesen, den Funktionsgraphen selbst skizzieren zu müssen.
d) Da die Fläche gesucht ist, fehlt hier die Stammfunktion der Funktion f als Zwischenergebnis.
2.
Bestandteil dieser Aufgabe a) - d) war die algebraische Diskussion einer 3-parametrigen Funktionenschar.
Seit Abschaffung des Leistungskurses war so ein Aufgabentyp nicht mehr Bestandteil des Abiturs. Speziell die Aufgabe d) ist sehr anspruchsvoll, da hier eine Fallunterscheidung der Diskriminante gemacht werden soll, welche 3 Parameter enthält.
3.
Eine gebrochen-rationale Funktion p und ihre Abbildung sind gegeben.
a) In Ordnung.
Als nächstes wird jedoch eine Anwendungs-Aufgabe eingeleitet, welche sehr kritisch zu betrachten ist:
Zunächst ist die Rede von „Eine [...] Photovoltaikanlage wandelt Lichtenergie in elektrische Energie um.“
Jedoch ist „Lichtenergie“ kein Fachbegriff für eine physikalische Größe. Unabhängig davon können Schüler:innen, die Physik abgewählt haben, ohnehin schon nur wenig bis keinen Bezug zu dieser Aufgabe herstellen - während Schüler:innen, die Physik auch noch in der Oberstufe belegen, mit „Lichtenergie“ ebenfalls nur wenig anfangen können.
Des Weiteren heißt es, die Funktion p(x) beschreibe für x in Stunden die zeitliche Entwicklung der Leistung der Anlage in kW (Kilowatt).
Auch hier wieder der Verweis darauf, dass viele Schüler:innen keine Physik mehr in der Oberstufe belegt haben, und deswegen keinen Bezug zu „Leistung“ und der Einheit Kilowatt haben – und ihnen damit der Zusammenhang von Energie zu Leistung fehlt.
(Hinweis: in vergleichbaren Prüfungen wurden in der Vergangenheit physikalische Größen immer definiert)
Während die Teilaufgaben a), b) und c) - ungeachtet des physikalischen Hintergrunds - noch im Rahmen des Möglichen sind, ist in der Teilaufgabe d) die Rede von „eingespeister Energie, für die der Hauseigentümer 10 Cent pro Kilowattstunde (kWh) erhält“.
Auch hier fehlt den Schüler:innen der Zusammenhang zwischen kW und kWh. Zwar wird versucht, durch eine sehr irreführende Funktion darauf hinzuweisen, dass das Integral gemeint ist – jedoch führt dieser Hinweis sicherlich bei den meisten nur zu noch mehr Verwirrung.
Ebenfalls ist unserer Meinung nach die Bewertung der Aufgabe mit 3 BE für den Aufwand und dem erforderlichen Transfer der Skalierung in der Abbildung zu gering bemessen.
Analysis – Aufgabengruppe 2
Diese komplette Analysis Gruppe ist aus unserer Sicht durchaus im Großen und Ganzen – und auch unter Anbetracht der Pandemie- Situation – als „fair“ einzuordnen.
Inhalt dieser Gruppe sind 3 Aufgaben, die allesamt e-Funktionen enthalten.
Jedoch enthält die Aufgabe 3 d) erneut per Definition eine Integralfunktion, welche – wie bereits im A-Teil erwähnt – laut offiziellem Schreiben nicht hätte Bestandteil des Abiturs 2021 sein sollen.
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Update zu dieser Aussage (Sonntag, 23.05.2021 20:10 Uhr):
Durch einen Hinweis möchten wir unsere Analyse noch in einem Punkt korrigieren:
Vorangehend haben wir geschrieben, dass Aufgabe 3 d) eine Integralfunktion enthält, welche für das Abitur 2021 als nicht prüfungsrelevant kommuniziert wurde. (siehe https://www.isb.bayern.de/download/22966/mathematik.pdf
In einem Kontaktbrief (einsehbar unter https://www.isb.bayern.de/download/23249/kontaktbrief_mathematik_2020.pdf der uns bislang nicht vorlag, wurde jedoch Folgendes angemerkt:
>> Selbst Aufgabenstellungen der Art „Bestimmen Sie denjenigen Wert von b, für den das Integral … den Wert 1 hat” sind also denkbar, da b hier für eine feste, noch unbekannte Zahl steht und das Konzept der Integralfunktion zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich ist. <<
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Stochastik – Aufgabengruppe 1
Die Aufgaben 1., 2. a) und b) sind aus unserer Sicht erneut Standardaufgaben, die zum Teil zwar anspruchsvoll, allerdings durchaus von den Schüler:innen erwartet werden können.
2.
d) Hier ist ein das Quantil für die in 2. genannte Binomialverteilung gesucht.
Das Bestimmen von Quantilen mithilfe des Tafelwerks ist nicht Bestandteil des Lehrplans, kann aber als sehr anspruchsvolle Transferaufgabe zu den Sigma-Regeln aufgefasst werden.
Jedoch ist hier hinzuzufügen, dass die Quantils-Bestimmung Grundlage des Hypothesentests ist, welcher – erneut – dieses Jahr nicht Bestandteil des Abiturs sein sollte.
Daher lässt sich hier erneut darüber diskutieren, ob eine so anspruchsvolle Aufgabe in der Situation, in der sich die Schüler:innen dieses Jahr befanden, einen didaktischen Mehrwert bietet.
3.
Diese Aufgabe ist mathematisch unvollständig formuliert worden, denn hier wurde es versäumt, den genannten 6-seitigen Würfel als Laplace-Würfel, „fairen“ Würfel o.ä. zu beschreiben.
Diese Information ist allerdings grundlegend und notwendig zur Bearbeitung der Aufgabe, denn nur dadurch kann angenommen werden, dass alle 6 Würfelseiten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Durch dieses Versäumnis ist diese Aufgabe aus unserer Sicht als ungültig einzustufen.
4.
a) Diese Aufgabe halten wir grundsätzlich für eine angemessene Teilaufgabe, jedoch wurden bereits die gleichen Lehrinhalte in Aufgabe 1 abgefragt, daher bietet diese Teilaufgabe keinen didaktischen Mehrwert.
b) Eine anspruchsvolle und in der Form noch nicht vorgekommene Aufgabe, jedoch in Ordnung.
c) Die Formulierung halten wir hier für sehr irreführend, da die Schüler:innen hier Aufgrund der Aufgabenstellung an eine 3-mindestens- Aufgabe denken würden – was diese jedoch nicht ist.
Stochastik – Aufgabengruppe 2
1.
Aus unserer Sicht eine gelungene Standardaufgabe.
2.
Diese Aufgabe ist aus unserer Sicht mit am fehlerhaftesten bzw. unvollständigsten:
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein fundamentaler Baustein das Konzept der Zufallsvariable. Das sind Funktionen, die verschiedene Werte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit annehmen. Eine konkrete Realisierung dieser Wahrscheinlichkeiten nennt man Verteilung. Damit eine Aufgabe gerechnet werden kann, braucht man Informationen über diese Verteilung.
In der Aufgabe 2 a) werden aus einem „großen“ Behälter Gummibärchen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit der roten Gummibärchen beträgt 25%. Die Aufgabenstellung fragt nach der Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von 50 Gummibärchen mehr als 1/3 rote zu erhalten (17+).
Wenn in dem großen Behälter nur 50 Gummibärchen enthalten wären, wäre das unmöglich, da nur 25%*50 = 12,5 Gummibärchen rot wären.
Bei größeren Behältern wäre die Zufallsvariable „Anzahl rote Gummibärchen“ hypergeometrisch verteilt, da wir aus einer endlichen Anzahl Gummibärchen rote „ohne Zurücklegen“ herausnehmen.
Die Aufgabensteller:innen gehen allerdings scheinbar davon aus, dass man bei „großen Behältern“ eine Binomialverteilung nutzt. Diese beschreibt die Situation aber nur annähernd. Das ist auch in Ordnung, solange es in der Aufgabe angemerkt wird, wie in bisherigen Abiturprüfungen auch.
Hier wurde dies allerdings versäumt, weswegen man nur mit einem fehlerhaften Modell arbeiten kann.
Da die Angabe zur Verteilung der Zufallsvariable fehlt, was die Teilaufgaben a) - c) betrifft (insgesamt 9 BE), und wiederum auch diese Aufgabe mathematisch unvollständig macht, ist auch diese Aufgabe auf unserer Sicht als ungültig einzustufen.
b) Hier handelt es sich um eine kumulative, geometrische Verteilung, die nicht im Lehrplan enthalten ist. Man kann diese als Transferaufgabe sehen, allerdings hat sie keinen didaktischen Mehrwert.
c) Bei dieser Aufgabe handelt es sich (theoretisch, wenn man die fehlende Beschreibung der Zufallsgröße ignoriert und diese als binomialverteilt annimmt) um eine klassische 3-Mindestens-Aufgabe. Allerdings kam es zu enormen Verwirrungen, da auf einmal von „gelben“ Gummibärchen die Rede war, die zuvor in der Aufgabe keinerlei Erwähnung fanden. Ein expliziter Hinweis auf die Existenz dieser Farbe wäre sicherlich sinnvoll und hilfreich gewesen.
3.
Schönes und klassisches mehrstufiges Zufallsexperiment.
4.
a) Diese Aufgabe ist eine Standardaufgabe zur Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Jedoch ist die Bewertung mit 3BE sehr gering, besonders unter Anbetracht der Tatsache, dass die Schüler:innen hier ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen lösen müssen – und im Anschluss die Varianz dieser Verteilung berechnen sollen.
Für letztere würde auch ein Zwischenergebnis fehlen, da ohne Lösung des linearen Gleichungssystems diese nicht bestimmt werden kann.
b) Bei dieser Aufgabe wird ein neues Konzept eingeführt, welches nicht Teil des Lehrplans ist.
Dieses wird auch nur in Textform definiert mit den Worten „der Quotient aus Standardabweichung und Erwartungswert“.
Der Quotient ist das Ergebnis einer Division, welche Dividend und Divisor beinhaltet. Hier ist es wichtig, welcher Wert welche Rolle einnimmt. Ist nun der Erwartungswert oder die Standardabweichung der Dividend?
Da der Variationskoeffizient auch keine gängige Größe ist, wäre eine Formel viel sinnvoller gewesen – abgesehen davon, dass die Einführung einer neuen Größe als etwas paradox erscheint angesichts der Tatsache, dass eigentlich Themenbereiche aufgrund der Pandemie-Situation gestrichen worden sind.
Die Schüler:innen dann mit einem stochastischen Prozess rechnen zu lassen - etwas, das man in der Schule nie behandelt hat - ist durchaus anspruchsvoll, das selbst Student:innen Schwierigkeiten bereitet. Genau genommen handelt es sich hier um eine unendliche Folge von Zufallsvariablen, die nicht einmal vollständig definiert wurden.
Diese Konzepte sind zwar nicht notwendig zur Lösung der Aufgabe, allerdings führt aus unserer Sicht Halbwissen meist zur großer Verwirrung.
Geometrie - Aufgabengruppe 1
Die Teilaufgaben a), b) und c) sind angemessene Standardaufgaben, die so bereits geprüft worden sind.
Die Teilaufgaben d) und e) sind durchaus anspruchsvoller, aber noch im Rahmen des Anspruchs an eine Abiturprüfung.
f) und g):
Für diese Aufgaben wird zuvor die Fontäne als parabelförmige Punkteschar definiert. Jedoch sind Kurven im IR3 nicht Bestandteil des Lehrplans und daher auch so nicht in Schulbüchern oder älteren Prüfungen auffindbar.
Insbesondere die Teilaufgabe g), in welcher zur Bestimmung der maximalen Höhe der Fontäne die Ableitung/Scheitelpunkt der Kurve benötigt, dürfte – verständlicher Weise – viele Schüler:innen überfordert haben, da sie mit so einem Zusammenhang im Unterricht noch nicht konfrontiert wurden.
h) Diese Aufgabe ist ebenfalls durch fehlende Angaben als ungültig einzustufen, da sie zu viel Spielraum für Interpretationen offen lässt.
Zu Beginn des Sachzusammenhangs heißt es: „Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Wände der Bronzeschale.“
Später kommt hinzu: „Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an viel Stellen Wasserfontänen aus (o.g. Punkteschar)“.
Die Aufgabe lautet nun: „Aus den vier Austrittsstellen fließen pro Sekunde insgesamt 80ml Wasser in die Bronzeschale. Bestimmen Sie die Zeit in Sekunden, die vergeht, bis der anfangs leere Brunnen vollständig mit Wasser gefüllt ist.“
Hier stellen sich nun einige Fragen zur Berechnung der Aufgabe:
1. Da die Fontänen aus der Kugel austreten, wie ist die Wasserleitung gelegt? Grundsätzlich nicht so wichtig, allerdings auch nicht unerheblich, denn es ist nicht definiert, ab wann die Zeit berechnet werden soll, bis der Brunnen voll ist.
2. Da die Fontänen aus der Marmorkugel austreten, ist diese zwangsläufig (zumindest teilweise) hohl, und nicht aus massivem Marmor.
Dadurch stellen sich mehrere Fragen:
- Ist die Kugel zuvor leer? (hier wäre eine Information über die Wasserversorgung nützlich)
- Muss das Wasser innerhalb der Kugel, welches austritt, mit berücksichtigt werden, und füllt sich dieses nach?
- Ist die Beschaffenheit der Kugel so dünn, dass, nachdem das Wasser ausgetreten ist, diese auf der Oberfläche treibt – oder sinkt sie ab einem gewissen Punkt auf den Bronzeschalenboden?
- ...
All diese nicht genannten Informationen, lassen die Schüler:innen bei dieser Aufgabe gänzlich im Unklaren darüber, wie sie genau gelöst werden soll.
Somit ist sie ebenfalls als ungültig einzustufen.
Geometrie - Aufgabengruppe 2
Die Teilaufgaben a) - d) sind auch hier angemessene Standardaufgaben, die so bereits geprüft worden sind.
e) Durchaus anspruchsvoller, aber für eine Abiturprüfung angemessen
f) Unübliche, aber „nette“ und machbare Aufgabe.
g) Sehr anspruchsvoll, da die Kugelgleichung für Schüler:innen lehrplanbedingt ein schwieriges Thema ist (Kugel wird in der 11. Klasse eingeführt, auf die Lagebeziehung zu anderen Objekten die erst Bestandteil der 12. Klasse ist, wird dabei jedoch oft nicht eingegangen). In dieser Teilaufgabe ist ein möglicher Ansatz ein Gleichungssystem mit dieser Kugelgleichung aufzustellen und zu lösen, was bisher so noch nie dran gekommen ist.